Математика

УДК 510.8

Ткаченко Иван Семенович

доктор экономических наук, профессор

Хмельницкий национальный университет

Ткаченко Мирослав Иванович

кандидат экономических наук, доцент

Винницкий институт Университета “Украина”

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ ГЕНЕЗИС ЗОЛОТОЙ ПРОПОРЦИИ И ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ

HYPERBOLIC GENESIS GOLD PROPORTION AND GOLDEN SECTION

Аннотация. В статье приведено системное исследование гиперболического генезиса золотого сечения и золотой пропорции.

Ключевые слова: генезис, золотое сечение, золотая пропорция, гипербола, парабола как прямая и гипербола, парабола как две гиперболы, графики. 

Summary. In the article described the systematic research of the hyperbolic genesis of the Golden section and Golden proportion.

Key words: genesis, Golden section, Golden ratio, Golden proportion, hyperbole, parabola as line and hyperbole, parabola as two hyperboles. 

Введение. Исследованию природы золотого сечения и золотой пропорции посвящено достаточное количество как научных, так и познавательных книг, статей, кинофильмов, интернет-сайтов и так далее [1], число которых быстро увеличивается и при этом их анализ позволил нам прийти к еще одному источнику их возможного начала.

Постановка задачи и ее решение. Посмотрим на классическое определение золотого сечения и золотой пропорции с геометрической точки зрения.

1. В Википедии дано конкретное и четкое определение, что такое золотое сечение:

Золотое сечение (золотая пропорция, деление в крайнем и среднем отношении, гармоническое деление) — соотношение двух величин , когда справедливо  [2].

Представим это соотношение через привычные для задания функций обозначения. Пусть  и , , тогда , а так как это равенство, то представим как две функции:и  графики (Рис. 1) которых дают нам наглядное представление о том, что такое золотое сечение не с точки зрения деления единичного отрезка на две неравные части. На рис. 1 видно, что прямая пересекает обе ветви гиперболы в точках, координаты которых равны как положительным, так и отрицательным значениям золотого сечения и золотой пропорции точка первого квадранта (0,618; 1,618) и точка третьего квадранта (-1,618; -0,618).

Если значения аргументов этих функций задать как абсолютные величины, , и , то будет видна асимметричность значений координат относительно оси абсцисс (Рис. 2) так, если на рис. 1 координаты точки третьего квадранта (-1,618; -0,618), то они на рис. 2 отображаются в координаты точки второго квадранта (-0,618; 1,618), а далее видна симметричность относительно оси ординат.

Рис. 1. Графическое представление золотого сечения как система двух функций

Таким образом, могут быть совмещены обе ветви гиперболы в одну, что в первом квадранте или в третьем декартовой системы координат.

Рис. 2. Графическое представление золотого сечения как система двух функций , и

В другом случае, когда для гиперболы оставим значения абсолютных величин без изменения, а для прямой зададим все ее значения как абсолютные величины, а не только один аргумент, то есть это будут  и , то наблюдаем симметричность относительно оси абсцисс и асимметричность значений координат относительно оси ординат (Рис. 3). Все три рисунка наглядно показывают (Рис. 1 — Рис. 3) как возникает асимметричность и симметричность в определении значения золотого сечения и золотой пропорции.

Рис. 3. Графическое представление золотого сечения как система двух функций

2. Рассмотрим также определение золотой пропорции, которое следует из решения задачи: необходимо разделить отрезок на две неравные части в такой пропорции, чтобы отношение большей части к меньшей равнялось бы отношению всего отрезка к большей части, как это представлено на Рис.4 [3-4].

А*                         *C                             *B

Рис. 4. Деление отрезка в золотой пропорции

Из рис. 4 следует пропорция , в которой, если обозначить больший отрезок через  и меньший будет , то она примет вид:. Преобразуем ее левую часть следующим образом:

и тогда получим равенство , в котором правая часть есть функция гиперболы , а левая также есть функция гиперболы , у которой в декартовой системе координат ее асимптоты относительно начала О (0;0) смещены к точке (1; -1). Графически это выглядит следующим образом (см. Рис. 5):

Рис. 5. График гиперболического представления золотой пропорции

На графике видно, что обе ветви гиперболы  пересекаются одной веткой другой гиперболы в точках (0,61804; 1,61804) и (-1,61804; -0,61804), координаты которых соответствуют как положительным, так и отрицательным значениям золотого сечения φ и золотой пропорции что совпадает с результатами на рис. 1.

Полученные результаты свидетельствуют о том, что не обязательно сводить золотую пропорцию к решению квадратных уравнений, а их можно как увидеть, так и получить численное значение графическим методом.

Абсцисса точки в третьем квадранте имеем отрицательное значение для золотой пропорции , а в точке первого положительное для золотого сечения  . Ордината точки третьего квадранта имеем отрицательное значение для золотого сечения  а в точке первого положительное для золотой пропорции

Такой же результат имеем и при решении квадратных уравнений, корни которых соответствует для золотого сечения:

имеют значения ; а для золотой пропорции:

имеют значения .

Графическое представление решения этих уравнений (Рис. 6) не дает той наглядности, что видна на (Рис. 1 — Рис. 3).

Рис. 6. Графическое представление решений квадратных уравнений, которые соответствуют золотой пропорции и золотому сечению

3. Если посмотреть на параболу с позиции ее возможной связи с гиперболой, то получим что парабола это комбинация гиперболы и прямой линии вместе взятых: а далее, если это уравнение  то получим , и графически это соответствует рис.1.
4. С этих позиций преобразуем приведенное квадратное уравнение , или тогда , а значит, уравнения гипербол и прямых, будут зависимы от знаков и значений и то есть , Пусть и , тогда получим семейство квадратных уравнений, отдельные из которых для наглядности представим в таблице без комплексных корней (Табл. 1) и графически на (Рис. 7).

Таблица 1

Отдельные квадратные уравнения, их корни и соответствующие им пропорции или сечения [4]

Рис. 7. Графическое решение отдельных квадратных уравнений, представленных в виде  с различными значениями и

5. Рассмотрим формулу нахождения корней приведенного квадратного уравнения как функции двух переменных

и, учитывая, что , или , выделены промежутки где их значения являются комплексными числами, и согласно теореме Виета имеем  или, а это при  говорит о том, что они взаимно обратные величины и отличаются только целой частью, о чем и свидетельствуют не только значения золотой пропорции и золотого сечения. Взаимно обратные значения не могут быть одновременно как целыми, так и дробными, потому что тогда их произведение не будет равно единице, но это в принципе возможно тогда, когда оба корня равны самой единице по абсолютному значению.

Для значений  и  построим их 2D графики рис. 8, а при  и  построим 3D графики рис. 9 и рис. 10.

Рис. 8. 2D графики корней приведенного квадратного уравнения

Рис. 9. 3D графики корней приведенного квадратного уравнения

Рис. 10. 3D графики корней приведенного квадратного уравнения

7. Парабола может быть также представлена и как комбинация двух гипербол: то есть и что возможно для всех значений , кроме нуля. Пусть заданы  и  и это графически представлено на рис.11.

Рис. 11. Графики корней приведенного квадратного уравнения как параболы в виде двух гипербол

Выводы. Системный поливариантный подход к геометрическому представлению золотой пропорции и золотого сечения свидетельствует о неопровержимости их гиперболического генезиса гармонии природы и общества. 

Литература

1. В.Лаврус. Золотое сечение [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://n-t.ru/tp/iz/zs.htm
2. Золотое сечение. Материал из Википедии — свободной энциклопедии. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D1%82%D0%BE%D0%B5_%D1%81%D0%B5%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5.
3. Стахов А.П. От «Золотого Сечения» к «Металлическим Пропорциям». Генезис великого математического открытия от Евклида к новым математическим константам и новым гиперболическим моделям Природы // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ. 14774, 16.04.2008
4. Стахов А.П. Обобщенные золотые сечения и новый подход к геометрическому определению числа // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ. 17008, 21.11.2011.